把分形理论和分数微积分有机结合作为一种研究手段，针对微纳米尺度下的小曲面扩散过程中特有的几何特征，表面特征，非线性动力学特征，建立适合描述包含一维时间序列的二维Riemann流形上的二维空间序列的分形插值模型，求解相应形式的迭代函数系统，对于不可微的小曲面扩散规律实现重构，进而计算包含时间序列的分形维数与局部分形维数。表征多重分形特性的扩散小曲面的局部分形维数与其局部偏导数的解析关系。构建在分形时

以超级分形碳纳米管和超级分形纤维为研究对象，这类崭新的分形集合包含三种几何：欧氏几何、二维Riemann几何、分形几何。分形维数- - 分形几何中最重要的几何参数，首次通过数格子法给出计算公式。进而还估算了分形维数的上下限。分形维数的求解为进一步研究分数阶偏微分方程提供一个有效的参考和依据。超级分形碳纳米管处于特别的分形维数范围，使得它可能在超级分形天线上有较大的应用潜力。给出了构造这种超级分形碳纳米管的几何条件，采用E-无穷理论估算了超级分形碳纳米管的Hausdorff维数。通过研究超级分形纤维，给出了生长条件和生长极限两个新概念，这些概念在生物力学、生物学以及物理学上有重要价值。分别提出三种高维分形插值模型以及逆算法：高维自仿射分形插值模型，高维分段自仿射分形插值模型，高维隐变量分段自仿射分形插值模型。这些模型建立起多维离散模型与连续模型的本质联系，其实质上是分形与分数微积分存在着必然的联系。而且，用分数阶偏微分方程研究这类分形结构上的非线性动力学过程（热、电、磁等的传输）是最恰当的数学工具。