本项目通过对三维不可压缩欧拉方程的几何性质以及非爆炸性的研究，以及对与此相关的2D Quasi-geostrophic方程以及2D Boussinesq方程的研究，对欧拉方程以及2D Quasi-geostrophic 方程的可积性质进行了刻画，并用它来研究2D Quasi-geostrophic方程的长期存在性问题，在方程解的水平集满足一定的光滑条件下，得出了解的非爆炸性结论。..本项目的资金也部分地用来研究与变分结构相关的指标理论问题。特别对非线性的椭圆型边界值问题，我们给出了相关解的Maslov指标的构造，并证明该解对应的Morse 指标与Maslov 指标有对应关系。相关结果已经被Transactions of American Mathematical Society 接受，即将于2010年发表。

This project studies the geometric structure of the 3-D incompressible Euler equation and the relevant 2D Quasi-geostrophic equation, and describes the integrable properties of the Euler equation and Quasi-geostrophic equation, and studies the long-time existence problem of the 2D quasi-geostrophic equations. When the level set of the solution for the 2D QG equation satisfies certain mild smoothness condition, we show the global existence of the solution. .. The funding of this project also partially supports the index problem related to certain variational structure. Specifically, we construct a Maslov index for the solution of the nonlinear elliptic boundary value problems, and show the correspondence between it and the Morse index of the solution. This result has been acccepted by the Transactions of AMS, and will be published in 2010.

本项目通过对三维不可压缩欧拉方程的几何性质以及非爆炸性的研究，以及对与此相关的2D Quasi-geostrophic方程以及2D Boussinesq方程的研究，对欧拉方程以及2D Quasi-geostrophic 方程的可积性质进行了刻画，并用它来研究2D Quasi-geostrophic方程的长期存在性问题，在方程解的水平集满足一定的光滑条件下，得出了解的非爆炸性结论。本项目的资金也部分地用来研究与变分结构相关的指标理论问题。特别对非线性的椭圆型边界值问题，我们给出了相关解的Maslov指标的构造，并证明该解对应的Morse 指标与Maslov 指标有对应关系。相关结果已经被Transactions of American Mathematical Society 接受，即将于2010年发表。